Les transformations rigides (compositions de rotations et translations) sont impliquées dans la résolution de nombreux problèmes de traitement d’images. Dans ce contexte, les transformations rigides sont généralement calculées dans leur espace continu, avant d’appliquer un procédé de digitalisation afin d’obtenir un résultat dans Z². En conséquence, les transformations rigides digitales induites présentent des propriétés géométriques et topologiques différentes par rapport à leurs analogues continues.

Ce travail consiste à étudier les transformations rigides et leurs propriétés, géométriques et topologiques, dans un cadre totalement discret. En particulier, l’espace de paramètres de ces transformations se subdivise en classes d’équivalence correspondant chacune à une seule transformation digitale. Une structure combinatoire, nommé un graphe, a été proposé afin de modéliser les relations entre ces classes de transformations. Cette structure présente une complexité polynômiale par rapport à la taille de l’image ainsi que des propriétés structurelles remarquables permettant son usage dans des applications de traitement d’images numériques, par exemple en recalage ou en analyse topologique. En particulier, les algorithmes avec les calculs exacts et en temps linéaires sont disposés pour la reconstruction du graphe et également pour son utilisation dans les applications proposées.